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Università “La Sapienza” C.S.I. BIBLIOTECA DI FILOSOFIA

D.re DIONISIO GAMBIOLI

Prof. del R. Istituto Tecnico Leonardo Da Vinci di Roma.

BREVE SOMMARIO

DELLA

STORIA DELLE MATEMATICHE

COLLE DUE APPENDICI

SUI MA TEMATICI ITALIA NI

SUI TRE CELEBRI PROBLEMI GEOMETRICI DELL'ANTICHITÀ

AD USO DELLE SCUOLE SECONDARIE

è: Edizione

1929 Anno VII REMO SANDRON EDITORE Libraio della Real Casa PALERMO ROMA-MILANO-NAPOLI-GENOYVA-BOLOGNA-TOBINO-FIRENZE .

Proprietà artistico-letteraria dell’ Editore REMO SANDRON |

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Offio. Tipogr. Sandron (569, —.290101. sisi ci

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Prefazione.

Chi percorrendo gli studî secondari non si è imbattuto ne’ nomi di Talete, di Pitagora, di Euclide, di Archimede, di Apollonio, di Tolomeo, di Pappo, di Leonardo da Vinci, di Galileo, di Newton, di Pascal, di Carnot, di Lagrange, e non ha sentito vivo il desiderio, direi anzi il bisogno, di conoscere la storia di questi grandi uomini, i cui nomi sono legati alle più importanti scoperte delle discipline matematiche, fisiche e meccaniche?

E che cosa dir si dovrebbe di un giovane, che ignorasse la storia dei grandi Capitani di Grecia e di Roma e di coloro che fecero la nostra Italia una e grande?

La storia non solo registra le vittorie riportate sui campi di battaglia, ma anche quelle guadagnate ne’ campi della scienza; e quesl’ultime sono assai più gloriose di quelle, perchè più pure, più utili, più feconde; le uniche che su- blimano veramente l’uomo e ne ‘costituiscono la sua vera grandezza. Onde ogni giovinetto, che con vero intelletto di amore dedica allo studio della matematica, non deve igno- rare la storia di quelli, che ‘colle loro scoperte hanno reso grandi servigi a questa scienza e l’han fatta progredire.

Io opino poi che lo studio della storia delle matematiche gli sarà di gran vantaggio non soltanto, perchè egli in tal Lai

cile

guisa arricchirà la sua coltura generale e questo studio lo invoglierà vie più a quello della scienza, così ne aumenterà il suo valore educativo; ma anche perchè esso gli servirà come mezzo mnemonico per vie meglio conoscere e ricor- dare i teoremi fondamentali, che altrimenti avrebbe ben presto dimenticati.

Ben pochi sono i libri élementari di matematiche, che a piè di pagina o nella prefazione hanno qualche cenno sto- rico e bibliografico, cenni sempre troppo concisi ed il più delle volte inesatti.

A colmare una tal lacuna ho pensato di compilare que- sto brevissimo sommario della storia delle matematiche, nel quale l’alunno delle nostre scuole secondarie, ed anche universitarie, troverà raccolte in poche pagine, le notizie più importanti sui più grandi matematici antichi e mo- derni; e ciò è quanto basta per lui. Imperocchè sarebbe inu- tile, e forse dannoso, dargli in mano un Compendio, per quanto breve esso sia, della storia delle matematiche, cui egli per molteplici ragioni non leggerebbe certamente: la mole soltanto lo spaventerebbe! |

Per la compilazione di questo libriccino mi sono natu- ralmente servito del « A_short account of history of Ma- thematics » del Prof. W. Rouse Ball dell’università di Cam- bridge, volio nel nostro idioma da me e dal Prof. G. Loria; poi mi son servito della mia « Appendice sui matematici ita- liani de’ tempi recenti»; ed infine del « A primer of the history of mathematics » e delle « Mathematical recreations and Problems ecc » dello stesso Rouse Ball.

Come si è detto, oggetto principale di questo brevissimo sommario è di esporre in una maniera piana, direi quasi | popolare, la storia delle matematiche; esso comprende le notizie più interessanti della vita specialmente di quei ma- . tematici, cui è principalmente dovuto lo sviluppo ed .il progresso delle matematiche e delle loro più importanti scoperte.

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Onde questo libriccino è scritto in un linguaggio non del tutto scientifico, affinchè possa esser meglio compreso dai giovani, cui è dedicato; ed essendo in poche pagine condensato, non può essere quindi che un breve sunto della storia delle matematiche; perciò non è destinato a coloro che hanno familiarità con essa.

Ecco in breve l’ordine della materia contenuta in questo breve sommario.

Non potendo la storia delle matematiche essere divisa in iscuole ed in -periodi prima della storia greco-ionica, come può essere divisa la successiva in periodi, i cui limiti sono. sufficientemente determinati, ho quindi esposto prima la storia delle matematiche sotto l’influenza greca, poi quella del Medio-evo e del Rinascimento; indi quella della inven- zione dell’Analisi moderna; infine espongo i principali ca- ratteri delle matematiche del secolo XIX.

Ho poi aggiunto due brevi Appendici, l’una sui Matema-. tici italiani e l’altra sui tre celebri problemi geometrici clas-

sici dell’antichità ed una breve dimostrazione della trascen- denza di x .

Nutro speranza che il pubblico vorrà accogliere favore- volmente anche la 2* edizione di questo libriccino, il quale se non avrà altro merito, certo possederà quello della novità.

Roma, 1928.

D.r Dionisio Gambioli.

D. GamBioni Storia delle matematiche. 1

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74

CAPITOLO I.

La matematica sotto l’ influenza greca

. 1. La matematica egiziana e fenicia. È certo che gran parte delle razze umane hanno lasciato qualche ricordo de’ loro studî sui numeri, sulla meccanica, e sugli elementi di agrimen- sura; e gli Egiziani particolarmente si occuparono dello studio della geometria e de’ numeri, e probabilmente i Fenici dell’arit- metica pratica, della computisteria, della nautica e forse anche dell’agrimensura.

I risultati degli studî di questi popoli pare che furono noti sotto certe condizioni ai viaggiatori di quell’epoca; e lo studio della matematica greca per l’influenza esercitata da alcune pro- | posizioni di geometria, ebbe principio in questo modo nel set- timo secolo prima di Cristo per mezzo dei sacerdoti egiziani.

È assai probabile che la scienza dei Fenici e degli Egiziani sia il risultato in gran parte della osservazione e della misura ed

il frutto della esperienza di tanti secoli. D’altronde la matematica | greca, che incomincia collo studio della geometria fin dal suo inizio, tende ad essere deduttiva e scientifica. |

2. Talete, circa 640-550 a. C. Talete di Mileto fu il fon- datore della prima scuola greca di Matematica e di Filosofia. Egli dedicò i primi suoi anni al commercio e ai pubblici affari, ne’ quali si acquistò gran rinomanza per la sagacità e pel grande

acume; e in proposito molti aneddoti si raccontano di lui. ala

cura

Nella giovinezza si recò per i suoi negozi in Egitto, ove ebbe occasione di potere studiare la Geometria e l’Astronomia. Giunto all’età di mezzo abbandonò i commerci, si stabilì a Mileto, ove

st dedicò poi per tutta la vita allo studio della filosofia e della scienza.

3. crede che l’insegnamento della matematica, impartito da Talete, consistesse in un certo numero di proposizioni iso- late, ma ordinate logicamente; però le dimostrazioni sono dedut- | tive; sicchè i teoremi non erano che una mera induzione di un gran numero di postulati particolari, come probabilmente si sarà ciò verificato anche presso gli Egiziani; e senza dubbio fu gran merito di Talete l’aver dato alla scienza questo carattere deduttivo. |

4. Ecco le principali proposizioni che a ragione si possono probabilmente attribuire a Talete.

a) Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono eguali. (Euclide I-5). |

Questo teor. probabilmente fu dimostrato prendendo un altro triangolo isoscele rispettivamente eguale, ribaltandolo e poi so- vrapponendolo al primo.

b) Se due linee rette si tagliano fra loro, gli angoli opposti sono eguali. (Euclide I-15).

Assai probabilmente Talete riguardò questa proposizione come un assioma.

c) Un triangolo è determinato se son dati la sua base e gli angoli ad essa adiacenti (Eucl. 1-26).

Questa proposizione fu certamente impiegata per trovare la distanza di una nave in alto mare, la base essendo una torre e gli angoli ad essa adiacenti essendo ottenuti mediante l’osser- vazione.

d) I lati dei triangoli equiangoli sono proporzionali. (Eucl. VI-4 o VI-2).

Questa proposizione sarebbe stata suggerita dal desiderio di determinare l’altezza di una piramide, poichè in un dialogo di Plutarco l’interlocutore diceva a Talete: « Mettendo il vostro bastone. al termine dell’ombra della piramide, ottenete mediante

—9-

1 raggi del sole due triangoli, così dimostrate che l’altezza della piramide sta alla lunghezza del bastone, come l’ombca della pi- ramide sta a quella del bastone ». Si dice che gli F.ziziani prima non conoscessero questo teorema e rimanessero meravigliati di questa nuova applicazione della scienza astratta.

e) L'angolo sotteso da un diametro di un cerchio ad ogni punto della circonferenza è retto. (Eucl. III, 31).

Si suppone che Talete dimostrasse questo teor. congiungendo il cemro dei cerchio col vertice dell’angolo, e corì ottenesse due triangoli isosceli, quindi applicasse il teor. a). Se tutto ciò è vero, se ne inferisce che Talete sapeva « che la somma degli angoli di un triangolo rettangolo è uguale a due angoli retti ». È probabile che questa proposizione fosse stata suggerita dalla forma delle mattonelle adoperate per gl’impiantiti e fosse stata da prima dimostrata per casì particolari e poi in generale così: «Due triangoli rettangoli eguali possono disporsi in inodo da formare un rettangolo, in cui la somma degli angoli è uguale a 4 retti; onde la proposizione è vera per qualunque triangolo rettangolo. Ma ogni triangolo può scomporsi in due triangoli rettangoli mediante la perpendicolare condotta dal vertice del- l'angolo maggiore sul lato opposto; quindi la proposizione è vera in generale.

5. Talete fra i suoi contemporanei ebbe maggior fama come astronomo che come matematico; possiamo ad esempio ram- mentare che egli asserì che la Terra aveva la forma sferica ed un anno aveva 365 giorni circa; inoltre pare che abbia spie- gato le cause delle eclissi della luna e del sole; ed è ben noto che predisse un’ecclisse solare, che si verificò nel tempo all’incirca in cui fu presagita; questa data è il 28 maggio 585 a. C. ov- vero il 30 settembre 609 a. C. Benchè questa profezia ed il suo compimento dessero straordinario prestigio al suo insegnamento e gli procacciassero il nome di uno de’ sette saggi della Grecia, tuttavia è di molto probabile che Talete non abbia avuto altro merito che quello di adoperare una delle effemeridi egiziane o caldee, le quali stabilivano che le eclissi solari ricorrono ad in- tervalli di 18 anni e ll giorni.

. 6. I successori di Talete. —La scuola fondata da Talete

pen

continuò a fiorire per più di un secolo dopo la sua morte; ma col volger del tempo i componenti di essa si dedicarono mag- giormente alla Filosofia ed. all’Astronomia. La matematica greca progredì ulteriormente ed in gran parte sotto l’influenza de’ Pitagorici, che aggiunsero alla geometria la scienza de’ numeri.

7. Pitagora, circa 569-500 a. C.— Pitagora dedicò i primi anni della sua virilità agli studî ed ai viaggi da lui fatti nel- l’Asia Minore ed in Egitto; indi si stabilì a Samo, suo paese nativo, ove insegnò senza frutto alcuno.

Verso il 529 a. C. emigrò in Sicilia; poi si recò a Taranto, e dopo poco tempo andò a Crotone. Le scuole, che egli vi aprì, erano sempre affollate da un uditorio entusiasta, formato di cittadini di ogni condizione, ma specialmente di quelli, che appartenevano alle classi più elevate.

Anche le donne vi accorrevano, benchè una legge vietasse dai di assistere a pubblici comizi.

8. Pitagora era uso dividere la sua scolaresca in due classi: quella degli Uditori e quella de’ Matematici, detti anche Pita- gorici; la prima era assai più numerosa della seconda; ma solo a questi ultimi eran rivelate le principali scoperte.

L’ultima era una specie di sodalizio, che aveva comunanza di vita, di credenze filosofiche e politiche; i suoi membri si dedicavano agli stessi studî ed eran vincolati dal giuramento di non rivelare ad alcuno l’insegnamento, che s’impartiva, i segreti della loro scuola. Il loro tenor di vita era semplice in tutto; avevano una disciplina assai severa, che imponeva loro la temperanza, la purità e l'obbedienza. Tutto ciò fece acquistare a questa società segreta la supremazia nello Stato, supremazia che destò l’odio nelle altre classi, tanto che il popolaccio, isti- gato anche dagli oppositori politici, un bel assassinò Pita- gora e molti de’ suoi seguaci.

Un tal delitto senza dubbio diminuì l’influenza politica de’ Pitagorici, i quali tosto la rafforzarono col fondare in Taranto una società filosofica e matematica. Essa continuò a fiorire per più di cento anni; ma poi finì per divenire una società segreta; onde non si conoscono ulteriori particolari della sua storia.

11

9. Egli è certo che Pitagora nel suo insegnamento non usava libri di testo; era stabilito da questa scuola che la scienza, nota a tutti ì suoi membri, fosse tenuta invece nascosta a quelli, che non appartenevano ad essa. Allorchè questa scuola allargò la sua cerchia, i suoi componenti incominciarono a scrivere Trat- | tati, i quali contenevano la sostanza del loro insegnamento e delle loro dottrine. Il primo libro di questa specie fu compilato da Filolao (circa il 385 a. C.). Platone potè metterne in salvo una

copia. à

10. Pitagora fu principalmente un filosofo ed un moralista; però i suoi insegnamenti filosofici ed etici erano preceduti e basati sopra uno studio della Matematica, che egli divideva in quattro parti fondamentali. Questo quadrivium consisteva: 1.° di grandezze in quiete o Geometria; 2.° di grandezze in moto od Astronomia (e forse Meccanica); 3.° di numeri assoluti od Arit- metica; 4.° di numeri applicati o musica. Questa divisione con- tinuò ad essere in uso per parecchi secoli.

11. La Geometria era la base fondamentale dello insegnamento di Pitagora, il quale diede ad essa quel carattere deduttivo che ora possiede; e si ha ragione a credere, che egli disponesse in un ordine logico le proposizioni principali. |

Probabilmente egli stesso conosceva ed insegnava la sostanza, di ciò che è contenuto nei primi due libri di Euclide, ed altri pochi teoremi isolati, che riguardavano le grandezze incom- mensurabili. I suoi successori aggiunsero parecchie delle pro- posizioni del VI e dell’XI libro di Euclide; però credesi che molte delle dimostrazioni non fossero rigorose, e particolarmente i teoremi inversi venivano talvolta assunti senza dimostrazione.

12. Le principali scoperte di Pitagora sono:

18). La somma degli angoli di un triangolo è uguale a due angoli retti (Euclide I, 32). E pare che siano di Pitagora le dimostrazioni delle proposizioni 13 e 29 del libro I di Euclide.

2*). Le proprietà del triangolo rettangolo contenute dalle proposizioni 47 e 48 del libro I di Euclide; però le dimostrazioni - date da Pitagora ora non esistono; quelle odierne sono Eu- clide.

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3%). Si attribuiscono a Pitagora i teoremi 44 e 45 del libro I di Euclide e la risoluzione del problema della proposizione 14* del libro II, cioè « Trasformare un rettangolo nel quadrato equi- valente », che equivale a quadrare un poligono. A proposito di questa scoperta si conta che Pitagora, o meglio la sua scuola, sacrificasse agli Dei un bue.

4*). Pitagora mise fra i solidi regolari il cubo, il tetraedro, l’ottaedro e forse anche l’icosaedro, cui Ippaso (circa il 470 a. C.), appartenente alla sua scuola, aggiunse il dodecaedro.

5*). Pare che Pitagora conoscesse parecchie proposizioni sulle grandezze incommensurabili; e si crede che egli sia stato il primo a dimostrare che la diagonale ed il lato del quadrato . sono incommensurabili (d : 1 = y2). Sembra che una tale sco- perta consigliasse i Greci a bandire dalla loro geometria i con- cetti di numero e di misura. Si opina che la dimostrazione di Pitagora fosse la seguente: Suppongasi che il rapporto del lato e della diagonale sia eguale a quello dei due numeri a e b, e per semplicità suppongasi che essi sieno primi fra loro; dunque (Eucl. I-47) b? = 2a?; perciò b è un N.2; ma essendo a primo con b, ne consegue che a è un N2 + 1; allora sarà b = 2n, ove un N;; quindi (2n) = 2a?; d'onde: a? = 2n°; perciò a è un N. 2. Così a è ad un iempo un N.2 e un N2 + 1; il che è assurdo; onde il lato e la diagonale del quadrato sono incom- mensurabili.

6*). Le proprietà del cerchio e della sfera di cssere massime fra le figure dello stesso perimetro e della stessa superficie.

Queste proposizioni contengono il germe della teoria degli isoperimetri.

13. Può dirsi che Pitagora abbia creato la scienza de’ nu- meri o l’Arilmetica superiore, e ciò fu riguardato dalla sua scuo- la come una delle sue principali glorie. Pitagora dava grande importanza a questa scienza, poichè sapendo che la misura era un elemento essenziale all’accurata definizione di forma, cre- deva che essa fosse anche in gran parte la causa della forma stessa; onde egli insegnava che il fondamento della teoria del- l'universo doveva ricercarsi in quella de’ numeri. Tuttavia è bene ricordare che questa « Aritmetica » greca non ha legame

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alcuno coll’arte del conteggio (1); ma riguarda solo le proprietà de’ numeri (cioè le proporzioni, i divisori, le serie ecc.), le quali furon poi studiate per mezzo della Geometria.

14. Pitagora incominciava nella sua Aritmetica a dividere tutti inumeri in pari e dispari; poi in semplici e composti, dividendo questi ultimi in tre specie, secondo che sono maggiori, uguali o minori della somma dei loro divisori intieri. Studiò pure i numeri di forme speciali, particolarmente «i triangolari », nu- -

meri della forma + n(n+l1)e le terne degli N,, come 3, 4,

5; e 5, 12, 13; od in generale come u?- v°, 2uv, u°+v?, ove u e v sono degli N, (2), che possono rappresentare le misure de’ lati di un triangolo rettangolo rispetto alla stessa unità di mi- sura; ed un’altra specie di numeri che possono essere i termini di una proporzione. I Pitagorici finalmente si occuparono delle serie degli N, in progressione aritmetica, geometrica, armonica e musicale; le tre prime progressioni sono ben note; invece quattro N, si dicono essere in progressione musicale, allorchè sono nel rapporto:

2ab 1 ea

15. Il quinto secolo a. C.— Dopo la morte di Pitagora di- . versi filosofi greci continuarono a studiare la Matematica; questi filosofi od appartenevano alla sua scuola od erano stati diretta- mente influenzati da essa; e fra questi si possono ricordare spe-

(1) Nell’epoca greca e molto tempo di poi, i più semplici procedimenti di calcolo e di Aritmetica commeiciale furono principalmente perfezionati col- l'uso dell’abaco. Nella sua forma semplicissima esso consisteva in una ta- vola di legno, in cui erano incisì de’ segni, o di una tavola ricoperta di arena, in cui si tracciavano de’ segni colle dita. Per rappresentare ùn nu- inero si ponevano nel primo segno tanti sassolini o pallottoline quante unità vi erano; se ne ponevano nel secondo tanti quante decine vi erano e così via. In questo modo quindi si poteva contare un numero di oggetti; si poneva sul primo segno un sassolino per ciascun oggetto sino a diecì; in questo caso si toglievano e si poneva un sassolino sul secondo segno e così via; ciò si può fare mediante il pallottoliere. In tal guisa l’abbaco rappre- sentava in modo concreto un numero nel sistema decimale di numerazione.

(2) Con N, indichiamo i numeri intieri. i

ea

cialmente Enopide, Parmenide, Zeno, Archita, Teodoro, Briso, Antifo ed Ippia quali principali maestri del quinto secolo a. C.

16. Enopide da Chio, nato nel 500 a. C., ha risolto i problemi «di condurre da un punto dato fuori d’una retta data la per- pendicolare ad essa (Eucl. I-12), ed in un punto dato costruire un angolo eguale ad un angolo dato (Eucl. I-23) ».

17. Parmenide e Zenone da Elea furon celebri per alcune proposizioni paradossali sul moto, particolarmente per il sofi- sma di Achille e la testuggine enunciata da Zenone, nato nel 495 a. C. Ecco di che cosa si trattava: Quando anche Achille cor- resse con una velocità dieci volte maggiore di quella di una tar- taruga, la quale avesse 1000 m. di vantaggio, tuttavia essa non potrebbe essere mai raggiunta; infatti quando Achille avesse percorso 1000 m., che la tartaruga aveva di vantaggio su lui, la tartaruga sarebbe ancora 100 m. innanzi; Achille percorre- rebbe anche questi 100 m.; ma la tartaruga sarebbe ancora 10 m. innanzi a lui, e così via; talchè Achille si avvicinerebbe di più in più alla tartaruga senza però mai raggiungerla; ciò è evidentemente falso. |

18. Archita da Taranto intorno al 400 &. C. fu riconosciuto come il capo della scuola pitagorica. Inoltre si crede che egli abbia applicato la Geometria allo studio delle quistioni di mec- canica; però non esiste ora nessun lavoro suo su questo argo- mento; egli è assai probabile che in una tale opera Archita sia. caduto nello stesso errore comune ai Greci, cioè di non basarsi sufficientemente sui risultati di osservazione e di esperienza. Ar- chita è noto ancora per la soluzione geometrica, che diede di uno dei più famosi problemi dell’antichità, cioè « Di trovare lo spigolo di un cubo, di cui il volume sia doppio di quello di un cubo dato ». In esso egli fece uso di curve gobbe e mostrò che conosceva le proposizioni 18, III; 35, III; 19, XI di Euclide.

19. Un altro matematico della stessa epoca, che apparteneva alla scuola pitagorica fu Teodoro da Cirene, il quale si crede abbia dimostrato geometricamente che i numeri rappresentati

15

: da N/3, #/5, 4/6, 4/7, 8, 2/10, N/11, x/12, /13, V14,

/15 e N/17 sono incommensurabili coll’unità.

20. I contemporanei di Teodoro, Briso ed Antifo, sono noti per ì tentativi che fecero per trovare l’area di un cerchio, consi- derandolo come il limite di un poligono regolare inscritto con un numero grandissimo di lati.

21. Finalmente si può ricordare Ippia da Elea, che inventò la curva detta quadratrice (1), mediante la quale si può trisecare un angolo qualunque o dividerlo in un rapporto dato.

‘22. Origine della scuola ateniese. Verso la fine del quin- to secolo a. C. Atene divenne, per molteplici cause, il centro principale degli studî matematici e la città più opulenta della Grecia, in parte mediante il commercio, in parte mediante l’ap- propriazione, che per deliberato proposito fece dei contributi dei suoi alleati, ed in parte pel genio dei suoi uomini di Stato, che ne fecero il centro della vita politica di tutta la penisola.

Inoltre, mentre qualche Stato contendeva ad Atene la supre- mazia politica, tuttavia la sua prevalenza intellettuale fu da tutti riconosciuta, e non vi fu in quell’epoca nessuna scuola di filo- sofia, che non fosse rappresentata in Atene quasi sempre. da uno o più de’ suoi principali pensatori. La storia ‘della scuola di Atene incomincia verso il 420 a. C. coll’insegnamento di Ip- pocrate; le sue basi furono saldamente gettate coi lavori di Pla- tone e di Eudosio; ed unitamente alla vicina scuola di Cizico, che fu fondata da Eudosso ed intimamente legata a quella di Atene, essa continuò ad allargare il suo campo, seguendo le li- nee tracciate da questi geometri, fino alla fondazione (intorno al 300 a. C.) dell’Università di Alessandria, attirandovi gran parte degli ingegni di Grecia.

23. Ippocrate (2), circa il 420 a. C. Ippocrate fu un mer- catante di Chio, nato circa il 470 a. C. che si era recato in Atene

(1) Vedi Appendice 2 in fine. (2) Da non confondersi col suo contemporaneo Ippocrate di Cos, il cele- bre medico.

. 16

circa il 430 a. C. per poter ricuperare una proprietà, che gli era stata usurpata da alcuni cittadini di quella metropoli. Sem- bra che in tale questione fosse caduto in errore; mentre egli proseguiva nella lite, dava qualche lezione; e finalmente forse per campare la vita, aprì una scuola di Geometria.

24. Ippocrate fu il primo a scrivere un libro di Geometria; e credesi che in esso s’incominciasse per la prima volta ad usare le lettere per indicare i punti di una figura e vi si richiamasse l’attenzione sul metodo di ricondurre un teorema ad un altro già dimostrato; così ne conseguiva necessariamente la verità pro- posta; il metodo di riduzione all’assurdo (reductio ad absurdum) ne sarebbe un caso particolare.

Si può dire che egli abbia creato la Geometria del cerchio (ci- clometria), infatti scoprì che i segmenti simili di un cerchio con- tengono angoli eguali, che l’angolo sotteso da una corda di un cerchio è maggiore, eguale o minore di un angolo retto, secondo che il segmento del cerchio, che lo contiene, è minore, eguale o maggiore di un semi-cerchio (Eucl. II, 31); e probabilmente pa- recchie altre proposizioni del III libro di Euclide, come le pro- posizioni che i cerchi stanno fra loro come i quadrati dei loro diametri (Euclide XII-2), e i segmenti simili stanno, fra loro come i quadrati delle loro corde.

25. Le più importanti scoperte di Ippocrate ebbero origine dallo studio del problema della quadratura del cerchio e di quello della duplicazione del cubo; e per l’influenza da lui esercitata, questi problemi rappresentano una parte importante nella sto- ria della scuola ateniese.

26. La quadratura di un cerchio, cioè la costruzione di un quadrato, la cui area è eguale a quella un cerchio, non è pos- sibile eseguirla colla geometria elementare; però Ippocrate nei suoi tentativi, necessariamente vani, per. trovare una soluzione di questo famoso problema, scoprì diversi teoremi riguardanti le lunule, ì quali sono assai interessanti, perchè rappresentano i primi casi, in cui determinano le aree limitate da curve. Ec- cone un esempio. Sia ABC un triangolo isoscele inscritto nel

ei

semi-cerchio ABOC, il cui centro è O e BC il diametro; su AB ed AC come diametri si descrivano due semi-cerchi dalle bande opposte di AB ed AC rispetto al centro O; sicchè si ha:

BG = AB + AG? (Eucl. I, 47);

perciò pel XII, 2 di Euclide ho:

1 : i ii 3 area 3 cerchio su BC = somma delle aree dei semi-cerchì

su AB ed AG; togliendo via le parti comuni abbiamo:

area A ABC = somma delle aree delle lunule su AB ed AC; onde l’area di una di queste lunule è uguale alla metà di quella del triangolo ABC. |

27. L’altro problema, di cui Ippocrate si occupò particolar- mente, fu quello della duplicazione del cubo, cioè di determi- nare lo spigolo di un cubo, il cui volume sia doppio di quello di un cubo dato. Egli lo ricondusse a quello di trovare due me- die fra un segmento rettilineo a ed un altro di lunghezza 2a; se queste medie sono x ed y, si ha:

a:LT=X:y=Y: 2a, da cui si ricava:

-

x = 20°.

28. Platone 429-348 a. C. Platone è il primo filosofo della scuola ateniese, di cui dobbiamo qui discorrere brevemente. Do- po la morte di Socrate nel 399 a. C. Platone viaggiò per alcuni anni e studiò matematiche nelle scuole pitagoriche; ritornò in Atene verso il 380 a. C., ove creò una scuola sua propria in un ginnasio suburbano chiamato « l’Accademia ». Platone come Pi- tagora fu più filosofo che matematico: egli ritenne che il se- greto dell’universo si dovesse ricercare nel numero e nella for- ma; onde fece dello studio della Geometria o di qualche altra scienza esatta un preliminare indispensabile a quello della filo- sofia; nel sommo della porta della scuola di Platone vi erano —_ queste parole: « Chi non sa la Geometria non varchi questa Per S. 4 N

+ \ * aigLio TECA 3 Vo

_ 18

ta »; e si dice che una volta negasse ad un giovane l’ammissione alla sua scuola, perchè egli non sapeva la Geometria.

29. Probabilmente devesi a Platone se in seguito i geometri in- cominciarono a esporre la Geometria facendola precedere da una accurata serie di definizioni, di postulati e di assiomi; fu Platone, che elevò a sistema i metodi adoperati per risolvere le questioni di Matematica, e particolarmente richiamò l’attenzione sul me- todo analitico.

Questo metodo di dimostrazione incomincia col supporre che il teorema sia dimostrato od il problema sia risolto, e di qui de- duce qualche risultato; se questo è falso, allora il teorema non è vero od il problema non si può risolvere; se il risultato è noto. per vero o se ciò, che si è ottenuto è ammissibile, si ottiene (coll’invertire ciò che si è ottenuto) una prova sintetica; ma se ciò che. è ottenuto non è reversibile, allora non si può trarre alcuna conclusione.

30. Ecco un teorema attribuito a Platone: « Se CAB e DAB sono due triangoli rettangoli, aventi il cateto AB in comune e. gli altri cateti AD e BC paralleli e le loro ipotenuse AC e BD perpendicolari fra loro, che si tagliano in P, si ha: PC: PB=. = PB: PA=PA: PD». |

Questo teorema fu impiegato nel problema della duplicazione del cubo; infatti se questi triangoli possono essere costruiti, aven- do PD = 2PC, detto problema è risolto; poichè è facile fabbri- carsì un istrumento, con cui possano meccanicamente co- struire detti triangoli.

31. Eudosso, 408-855 a. C.— Poco conosciamo di questo terzo grande matematico della scuola di Atene; di Eudosso sap- piamo soltanto che studiò sotto i Pitagorici e fu il fondatore della scuola di Cizico; e pare che le sue opère siano state assai impor- tanti. ì

32. Eudosso scoprì gran parte delle proposizioni contenute nel V libro di Euclide e ne diede le dimostrazioni, che sono in esso. La divisione di una retta in media ed estrema ragione è

MI, (E

stata eseguita nel libro II-11 di Euclide; Eudosso stabilì i teo- remi riguardanti tale divisione, i quali furono riportati da Eu- clide al principio del XITI libro. Inoltre Eudosso fondò «il me- todo delle esaustioni», il quale dipende dalla proposizione che « Se dalla maggiore di due grandezze diseguali si prende più della sua metà, e dal rimanente più della sua metà e così via, allora rimarrà una grandezza minore dell’ultima delle grandezze date (Eucl. X-1.) ». Mediante questo teorema gli antichi poterono evitare l’uso degli infinitesimi. Questo metodo è certamente rigo- roso, ma poco pratico e poco fecondo; un esempio dell’uso di esso si trova nella dimostrazione data da Euclide in XII-8, cioè: « Che il quadrato del raggio di un cerchio sta al quadrato del raggio di un altro cerchio, come l’area del primo cerchio sta ad un’area, che non è minore, maggiore dell’area del secondo cerchio, e può quindi essere eguale - esattamente ad essa ». La dimostrazione di questo teorema è stata data da Euclide col solito metodo di riduzione all’assurdo. Eudosso applicò questo metodo: per dimostrare, che il volume di una piramdie (o di un cono) è un terzo di quello del prisma (o di un cilindro) della stessa base e della stessa altezza (Eucl. XII, 7 e 10).

33. Eudosso costrusse anche un planetario e scrisse un Trattato di Astronomia, nel quale ammise l’ipotesi che il sole, la luna e le stelle fossero attaccati rispettivamente a sfere mobili, le quali col loro moto di rotazione producevano precisamente i fenomeni osservati; e immaginò in tutto ventisette di queste sfere. In seguito le osservazioni divennero più accurate, ed allora gli astronomi, che accettarono questa teoria delle sfere mobili, per accordare vie meglio la teoria coi fatti, ammisero nuove sfere.

34. Menecmo, circa 875-325 a. C.— Menecmo fu un disce- polo di Eudosso e probabilmente gli successe come capo della scuola di Cizico; egli godè come insegnante grande fama; onde fu nominato professore e tutore di Alessandro il Grande. È ce- lebre la risposta, che egli diede al suo allievo, quando lo ri- chiese di fare le dimostrazioni più brevi; egli gli fece osservare, che, quantunque nel paese vi fossero vie private ed anche vie regie, in geometria però vi è solo una via per tutti.

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Menecmo fu il primo a studiare le sezioni coniche, che per lungo tempo furono chiamate le triadi menecmiane; le divise in tre classi e ne studiò le loro proprietà, segando un cono con diversi piani; dimostrò che la sezione di un cono retto con un . piano perpendicolare ad una generatrice è un’ellisse, se il cono è acutangolo, ‘una parabola se è rettangolo, un ADEPDGO: se esso è ottusangolo.

Egli indicò pure come si potevano adoperare le coniche per risolvere nei due modi noti il problema della duplicazione del cubo. Nel primo fece vedere che due parabole coi vertici in comune e cogli assi perpendicolari, e tali che i loro parametri siano l’uno doppio dell’altro, s’intersecano in due punti, uno dei quali ha l’ascissa (o l’ordinata), che è una soluzione di detto problema. Infatti, impiegando l’analisi, se le equazioni delle due parabole sono

y? = 2ap ed = ay,

esse s’intersecano in un punto, la cui ascissa è data da = 2a.

È probabile che questo metodo fosse stato suggerito dalla forma, con cui Ippocrate aveva posto ìl problema, cioè di. trovare x ed y in modo che:

a:.xr=%:y=yY: 2a;

d’onde: x°=ay, y?=2ax. Il secondo metodo era quasi identico; esso consisteva nel tro-

vare i punti d’intersezione di una parabola e di una iperbole retta. i

35. Aristeo e Teatete. Fra gli altri componenti di queste scuole sono degni di essere menzionati Aristeo e Teatete. Le loro opere sono andate perdute; però si sa che Aristeo scrisse intorno ai cinque solidi regolari e alle sezioni coniche, e Teatete ‘studiò la teoria delle grandezze incommensurabili. Il solo teorema che possiamo sicuramente attribuire a Teatete è quello dato in Eu- clide X-9, cioè « Che i quadrati costruiti su due rette commensu-

rabili stanno fra loro come i quadrati di due numeri ed inversa- i ì

io

mente; mia i quadrati costruiti su due rette incommensurabili hanno fra loro un rapporto, che non può essere espresso come quello dei quadrati di due numeri éd inversamente ».

36. Fine della scuola ateniese. I contemporanei ed i suc- cessori dei Matematici più sopra menzionati scrissero alcuni Trattati nuovi sugli Elementi di Geometria e sulle sezioni co- niche, studiarono i problemi riguardanti la ricerca dei luoghi geometrici, portarono efficacemente avanti il lavoro iniziato da Platone col rendere sistematica la scienza già acquisita, ma non crearono nuovi metodi di ricerca.

37. La prima scuola alessandrina.—Il primo tentativo di fondare un’università, secondo il concetto moderno, fu fatto ad Alessandria. Alla morte di Alessandro il Grande nel 323 a. C. ed alla divisione del suo impero Tolomeo s’impadronì dell’E- gitto e scelse Alessandria come capitale del suo regno; la sua politica vi attrasse molti dotti, e così potè fondare un'università vicina alla sua reggia; egli la provvide largamente di ampie aule. Inoltre dotò la città di ricche biblioteche, musei, labora- tori, giardini con ogni maniera di piante, di tutte le macchine che genio umano avesse ideato; onde essa divenne la metropoli della scienza greca e tale si conservò per oltre mille anni. Dei suoi ordinamenti interiori e della sua disciplina si conosce ben poco; ma sappiamo che durante il primo secolo della sua esi- stenza fu assai fortunata di avere tra le sue mura i tre più grandi Matematici dell’antichità: Euclide, Archimede ed Apollonio, i quali tracciarono i confini entro cui fu poi studiata la Mate- matica. Si deve senza dubbio alla loro grande influenza, se Ales- sandria fu per la storia delle Matematiche il centro più impor- tante fra tutti gli altri fino alla distruzione di essa da parte degli Arabi, avvenuta nel 611 d. C; e per tali ragioni le scuole di Alessandria comprendono comunemente tutti i matematici greci della loro epoca.

38. Euclide, circa 830-275 a. C. Conosciamo ben poco della vita di Euclide; si sa che è di origine greca; probabilmente studiò in Atene; insegnò nell’università di Alessandria dall’epoca

D. GamsioLi Storia delle matematiche. 2

della sua fondazione circa l’anno 300 a. C. fino alla sua morte. Si può attribuire tanto ad Euclide quanto a Menecmo il detto, che in Geometria non àvvi una via reale; ma ciò è una mera asserzione; si dice pure che Euclide sostenesse che la scienza acquista valore per il fine cui mira; e si racconta che allorquando un giovinetto, come ebbe incominciato lo studio della Geome- tria, domandò; « Coll’imparare tutte queste bagatelle che gua- dagno io? ». Euclide gli fece dare dal suo schiavo alcune monete di rame dal momento disse, che egli deve trarre un guadagno da ciò che impara. Gli scrittori arabi, che forse possono meglio degli altri tramandare a noi le tradizioni di Alessandria, lo rap- presentarono come un nobile e gentile vegliardo.

Euclide scrisse molte opere; ma egli deve principalmente la sua fama ai «Suoi Elementi », i quali contengono un’esposi- zione sistematica delle principali proposizioni della Geometria elementare, escluse le sezioni coniche e la teoria dei numeri. Questo Trattato fu subito adottato dai Greci come il libro clas- sico per lo studio delle matematiche pure. Il X libro sembra che sia tutto di Euclide; una gran parte di questi Elementi è una compilazione delle opere dei principali scrittori, quantunque egli ne abbia riordinata la materia e talvolta abbia date dimostra- zioni nuove. Il metodo, con cui vi sono dimostrate le proposi- zioni, è dovuto ad Euclide; esso consiste nello enunciato, nell’ipo- tesi, nella costruzione, nella dimostrazione e nella conclusione; . e così pure è dovuto ad Euclide il carattere sintetico dell’opera, essendo ogni dimostrazione scritta con un procedimento logico di ragionamento, ma senza dare nessun legame al metodo, con cui fu ottenuta.

39. Gli Elementi di Euclide sono così noti, che basta discor- rerne appena brevemente. I primi quattro libri ed il sesto rife- riscono alla Geometria piana; nel V si studiano le proporzioni; nei libri XI e XII studia la Geometria solida. I risultati otte- nuti nel V libro si applicano a grandezze qualunque; onde son veri tanto se riguardano numeri, quanto grandezze geometriche. Ciò era familiare ai Greci; così è probabile che essi per esempio sapessero che le proposizioni 28 e 29 del VI libro di Euclide contenevano le soluzioni geometriche delle equazioni quadratiche

az +bx+c=o, ove a, db, c sono numeri dati.

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40. Nei libri VII, VIII e IX Euclide tratta la teoria de’ numeri razionali; nel primo di questi egli dimostrò, che se nell’ordi- nario procedimento della ricerca della massima comune misura di due numeri l’ultimo divisore è l’unità, i numeri dati pos- sono essere primi; d’onde trasse la regola per trovare il M. C. D.; trattò poi delle frazioni; indi studiò i numeri primi, e terminò con alcune proposizioni sul minimo comune multiplo dei nu- meri. L’VIII libro è principalmente dedicato ai numeri in pro- porzione continua, ossia in progressione geometrica; nel IX libro continuò lo studio delle progressioni geometriche, vi estese pure la teoria dei numeri primi; vi dimostrò che il numero dei mumeri primi è infinito, vi studiò alcune proprietà de’ numeri pari e dispari; infine terminò col dimostrare come si ottenga un numero perfetto.

41. Nel X libro Euclide studiò le grandezze incommensurabili; siccome i Greci non possedevano i simboli per rappresentare i numeri irrazionali, onde fu costretto di adoperare una rappre- sentazione geometrica. Incominciò a dimostrare alcuni teoremi sulle grandezze incommensurabili, poi passò a studiare tutti i segmenti rettilinei che possono essere rappresentati con

(Wa + V3),

ove a e b sono grandezze commensurabili.

42. Oltre agli Elementi Euclide pubblicò due raccolte di pro- blemi di geometria, un libro sulle sezioni coniche, un’opera sul cono e sul cilindro ed un Trattato sui porismi; scrisse pure un’ottica geometrica ed un’Astronomia geometrica. In tutte le sue opere egli tratta sempre di grandezze a preferenza che delle loro misure numeriche. |

43. Non è inutile rammentare che Euclide introdusse ne’ suoi Elementi il metodo di dimostrazione detto di riduzione all’as- surdo, che consiste a provare che qualunque ipotesi contraria ad una proposizione enunciata conduce a qualche contraddi-

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zione. Questo «metodo è utile sopratutto nelle questioni, in cui l’infinito si presenta sotto forma degli irrazionali, del quale Archimede in parecchie delle sue opere ed Apollonio nel suo IV libro delle coniche hanno fatto un uso assai felice, e da cui i geometri moderni hanno tratto gran partito in quelle questioni, in cui la scienza non era ancora di molto progredita per darne dimostrazioni dirette, le sole che mettono una verità in tutta la sua evidenza e rischiarano e soddisfano assieme lo spirito del- l’uomo.

44. Parecchi lavori di Euclide andarono perduti: Quello sulle sezioni coniche, che constava di quattro libri. Un libro

sulle superficie curve. Quello dei Dati che in parte ci sono.

pervenuti. Quello de’ Porismi, ricostruiti dal Simson.

Ecco che cosa è un porisma: « Il porisma è una proposizione, in cui si ammette di poter determinare, ed in cui si determinano effettivamente, certe cose, aventi relazioni note -con delle cose fisse e ben conosciute, e con altre variabili all’infinito, queste essendo legate fra loro da una o più relazioni date, che stabili- scono la legge di variazione, cui esse sono sottoposte ».

I libri sulle superficie curve probabilmente trattavano delle superficie di ordine, delle superficie di rivoluzione, e delle sezioni fatte in esse con un piano, come nel cono. I porismi formavano coi Dati un complemento degli Elementi di Geo- metria, propri a facilitare gli usi di essi per la risoluzione dei problemi, cioè essi avevano per iscopo di far conoscere i luoghi geometrici.

I porismi secondo lo spirito di Euclide erano in qualche modo